Le système décimal est une « manière de compter » en utilisant 10 chiffres. Usuellement, nous comptons en base 10, c’est-à-dire que nous possédons 10 chiffres, numérotés de 0 à 9, que nous utilisons en boucle, et qui ont une valeur différente en fonction de leur placement dans le nombre.
En clair, que cela signifie-t-il ? Par définition, on multiplie la valeur du chiffre par la valeur de la base élevée à la puissance du rang. Mais rassurez-vous, on va expliquer tout cela !
Prenons un nombre relativement simple, 123. Pourquoi l’écrit-on comme cela ?
123 est un assemblage de 3 chiffres qui donnent une valeur. Le 3 vaut 3, le 2 vaut 20 et le 1 vaut 100. Effectivement, le chiffre des unités vaut sa propre valeur, le chiffre des dizaines sa valeur multipliée par 10 et le chiffre des centaines, multipliée par 100. Si on décomposait mathématiquement cela, cela donnerait : 123 = 1×10ˆ2+ 2×10ˆ1 + 3×10ˆ0 = 1×100 + 2×10 + 3×1.
En effet, nous multiplions par des multiples de 10 par convention, parce que nous sommes dans une base 10. Mais nous aurions pu choisir une autre base de définition. Par exemple, les Sumériens et Babyloniens utilisaient un système sexagésimal, soit un système avec 60 chiffres !
En informatique, outre le système binaire, nous utilisons le système hexadécimal, de base 16.
Comment cela fonctionne-t-il alors ? De la même manière que pour une base 10, en développant les caractéristiques. En hexadécimal, nous avons 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F ! Ainsi, A a une valeur de 10, F a une valeur de 15. Cette fois ci, 123 en hexadécimale vaut : 123 = 3×16ˆ0 + 2×16ˆ1 + 1×16ˆ2 = 3×1 + 2×16 + 1×256 = 275 en base décimale.
Alors, pourquoi travaillons nous en base 10 ?
Cela est principalement lié à nos doigts. Effectivement, le plus intuitif est souvent le plus simple. Il est fort à parier que si nous avions 2 doigts de plus, nous aurions 12 chiffres dans notre système numéraire.
Mais certains systèmes sont parfois plus simples que d’autres. Par exemple, le fameux système binaire, (en base 2 avec ses 1 et ses 0), permet de simplifier l’information, électroniquement parlant, et de pouvoir calculer avec seulement deux chiffres.
Comme pour les autres bases, on fonctionne avec le principe des puissances. 123 n’existe pas en binaire, puisque nous n’avons que les 0 et les 1. Par contre, transformer 123 en binaire donnerait : 123 = 1×2ˆ6 + 1×2ˆ5 + 1×2ˆ4 + 1×2ˆ3 + 0 x 2ˆ2 + 1 x 2ˆ1 + 1×2ˆ0 = 1111011. Ces 1 et ces 0 sont au cœur du fonctionnement de nos ordinateurs.
Nous comptons naturellement jusqu’à 10, par habitude et par convention. Mais travailler avec d’autres fonctionnements permet de se faciliter la vie, en fonction du domaine dans lequel on travaille. Le binaire, impressionnant par son visuel, est une des utilisations classiques d’une autre forme de représentation numérique. Tout cela permet de pouvoir s’adapter, et même de se rapprocher d’un célèbre acteur belge, afin de conclure qu’en base 2 : 1+1 =10.
